El acertijo menos intuitivo

¿En qué planta debería dejarse un ascensor de un edificio de 100 plantas para que el tiempo medio de espera de los vecinos del edificio sea el menor posible? Asume que nadie usa las escaleras, que en todas las plantas hay el mismo número de personas, que todas entran y salen del edificio el mismo número de veces y que no hay plantas subterráneas.

De todas las personas a las que he preguntado este acertijo tan sólo 2 lo han respondido bien. Y de los que han fallado, muchos todavía no han llegado a creerse la respuesta correcta. Es seguramente el acertijo que más discusiones ha generado, he llegado a estar hablando con amigos durante horas y horas de su solución.

Intenta resolverlo. En el salto, la respuesta. No sigas leyendo si quieres intentarlo.

¿50? ¿25? ¿57.5? La respuesta es la planta cero. La razón pasa porque el 50% de los usos del ascensor éste se utiliza para subir, y por tanto dejándolo en la planta 0 conseguimos que en la mitad de los viajes el tiempo de espera sea 0.

Ahora vamos a demostrar que es la planta 0. Lo que queremos minimizar es el tiempo medio de espera. Para ello, primero necesitamos saber cuál es el tiempo medio de espera para un vecino de la planta \mathcal{P}_V, suponiendo que la planta óptima (lo que queremos calcular) es la planta \sigma.

Cuando quiera bajar de su planta a la calle y llame al ascensor, éste tendrá que recorrer las plantas que hay entre la óptima \sigma y la planta en la que vive el vecino \mathcal{P}_V, es decir, |\sigma - \mathcal{P}_V|. El valor absoluto lo hemos puesto porque nos da igual que la planta óptimo esté por encima o por debajo de la planta del vecino, lo que queremos saber es cuántas plantas tiene que recorrer el ascensor, independientemente de si sube o baja para llegar a \mathcal{P}_V.

Cuando el vecino quiera subir de la calle a su planta, el ascensor tendrá que ir desde la planta óptima \sigma hasta la planta 0. Es decir, que siempre va a tener que recorrer \sigma.

Suponiendo ahora que el tiempo que tarda el ascensor de moverse de una planta a la siguiente (o anterior) es t, ya estamos en condiciones de calcular el tiempo medio para ese vecino, que será:

\mu_V = 50\%\times|\sigma - \mathcal{P}_V| t + 50\%\times\sigma t.

Ahora necesitamos calcular la media general de todos los vecinos. Suponiendo que en total hay N vecinos, la media general será la suma de la media de cada uno de los vecinos dividida entre el número total de vecinos (ya que hemos dicho que todos usan el ascensor el mismo número de veces), es decir,

M = \frac{1}{N} \sum_{V=1}^{N} \mu_V,

o lo que es lo mismo sustituyendo \mu_V (y simplificando la escritura de los límites del sumatorio por comodidad):

M = \frac{1}{N} \sum_V ( 50\%\times|\sigma - \mathcal{P}_V| t + 50\%\times\sigma t ).

Ahora por fin ya tenemos una expresión para el tiempo medio M, que es justamente lo que queremos minimizar con respeto a la planta óptima. Esto de entrada suena a derivada \frac{\delta M}{\delta \sigma}, pero como en la descripción de M hay un valor absoluto que no es derivable, vamos a demostrar nuestro punto de otra forma más intuitiva.

Lo que vamos a hacer es ver cómo queda M cuando la planta óptima es la 0 (nuestra hipótesis), es decir, \sigma = 0:

M_{\sigma = 0} = \frac{1}{N} \sum_V (\frac{1}{2}|0 - \mathcal{P}_V| t +\frac{1}{2}\cdot 0 t ) =\frac{1}{N} \sum_V\frac{1}{2} \mathcal{P}_V t,

que sacando factor común del sumatorio queda:

M_{\sigma = 0} = \frac{1}{N}\frac{1}{2} t \sum_V \mathcal{P}_V,

 

Y ahora vamos a ver qué pasa cuando la planta óptima no es la 0 (es decir, es mayor que 0):

M_{\sigma > 0} = \frac{1}{N} \sum_V ( \frac{1}{2}|\sigma - \mathcal{P}_V| t + \frac{1}{2} \sigma t ),

que sacando factor común queda,

M_{\sigma > 0} = \frac{1}{N}\frac{1}{2} t \sum_V (|\sigma - \mathcal{P}_V|+ \sigma ).

Por último, vamos a comparar M_{\sigma > 0} con M_{\sigma = 0}. Lo primero de lo que nos damos cuenta es que ambas fórmulas están siendo multiplicadas por la misma constante \frac{1}{N} \frac{1}{2} t, así que a la hora de comparar podemos olvidarnos de esta constante (si vas a comparar el 3 con el 5, tendrás los mismos resultados que si comparas 3·k con 5·k, siempre tendrás que 5 > 3).

Así que en definitiva lo que tenemos que hacer es comparar el tiempo medio cuando asumimos que la planta óptima es la cero, y el tiempo medio cuando asumimos que la planta óptima no es la cero. Si llegamos a que el tiempo medio cuando la planta óptima no es la cero siempre es mayor que cuando la planta óptima es la cero, habremos demostrado que la óptima es la cero, ya que poniendo el ascensor en cualquier otra planta, sólo podemos empeorar el tiempo medio.

En términos matemáticos, queremos ver si:

M_{\sigma > 0} > M_{\sigma = 0}.

o lo que es lo mismo quitando las constantes,

\sum_V (|\sigma - \mathcal{P}_V|+ \sigma ) >\sum_V \mathcal{P}_V.

 

Para ver si conseguimos esto, vamos a desarrollar el primer término teniendo en cuenta dos cosas: que el valor absoluto de a-b es igual que el valor absoluto de b-a (es decir, |5-3| = |3-5|), y que el valor absoluto de a-b es siempre mayor o igual que a-b propiamente (lo cual es evidente ya que cuando a-b sea positivo, el valor absoluto lo deja igual, y cuando sea negativo, el valor absoluto lo convierte en positivo, y por tanto será mayor).

Sabiendo estas dos cosas, desarrollamos:

\sum_V (|\sigma - \mathcal{P}_V|+ \sigma )

 

= \sum_V (|\mathcal{P}_V - \sigma|+ \sigma )

 

\geq \sum_V (\mathcal{P}_V - \sigma + \sigma )

 

= \sum_V \mathcal{P}_V.

Es decir,

\sum_V (|\sigma - \mathcal{P}_V|+ \sigma ) \geq \sum_V \mathcal{P}_V,

que es precisamente lo que queremos demostrar ya que implica que

M_{\sigma > 0} \geq M_{\sigma = 0}.

Y esto no es más que una manera matemática de decir: “si asumes que la planta óptima es mayor que cero, el tiempo medio total siempre va a ser mayor o igual que si asumes que la planta óptima es la cero” y de esto se desprende que la planta óptima puede ser la cero.

Y digo puede ser porque hemos llegado a que es mayor o igual. Si hubiéramos llegado a un “estrictamente mayor”, entonces sí tendríamos asegurado que no hay absolutamente ninguna planta que mejore o ni siquiera iguale el tiempo medio de la cero, pero con nuestra solución de mayor o igual sólo podemos asegurar que ninguna planta mejorará el tiempo de la cero, pero quizá pueda haber otra planta que lo iguale.

¿Se te ocurre qué está pasando?

 

 

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *