A continuación presento un pequeño experimento mental muy fácil de seguir y con un resultado bastante impresionante y contraintuitivo. Se necesitan conocimientos muy básicos de matemáticas (nivel primaria) y un poquito de imaginación, pero no mucho más… y el resultado puede dejarte a cuadros.
Imaginemos, por qué no, una esfera de radio R tan grande como la tierra. Ahora cojamos una cuerda y demos una vuelta a esta esfera por su ecuador. La longitud de esta cuerda será 2πR (longitud de una circunferencia), ¿verdad? Imaginemos ahora que a esta cuerda le añadimos un metro. Un metro, nada más. De los miles de kilómetros que mide, añadimos un metro… y volvemos a dar la vuelta a la tierra con esta nueva cuerda, de forma que ahora habrá algo de espacio entre la esfera y la cuerda (como se observa en la imagen).
Si tratamos de imaginar cuánta distancia se ha separado la cuerda de la esfera, llegaremos a la conclusión de que ha sido muy poco. Vamos, parece que apenas cabrá una hoja de papel…
Siguiente y última parte de nuestro experimento mental. Imaginemos ahora una pequeña canica. Hagamos lo mismo: cogemos una cuerda, rodeamos la canica, añadimos un metro a esa longitud y volvemos a rodear la canica. Resulta obvio que ahora la distancia entre canica y cuerda será considerablemente mayor… ¿no?
¡Pues no! Resulta que… ¡se separarán exactamente lo mismo! (unos 16 cm). Supongo que aún no te lo crees… la explicación matemática es bastante sencilla. Te recomiendo que antes de seguir leyendo cojas una hoja y un lápiz y la intentes tú mismo. Demostrar cosas es siempre muy satisfactorio.
Si no quieres esperar (o no te sale), aquí está la solución:
Dada una esfera (da igual si es la tierra o una canica) de radio R, sabemos que la longitud de la cuerda será L=2πR.
Si a esa longitud añadimos un metro, tendremos una nueva L’=2πR+1, ¿verdad?
Ahora con esa nueva cuerda tracemos una nueva circunferencia… cuya longitud será L’=2π(R+r), es decir, será la misma circunferencia que la anterior pero el radio habrá aumentado un poquito. La pregunta es: ¿cuánto ha aumentado?
Si tenemos que L’=2π(R+r) y también que L’=2πR+1, podemos igualar ambas ecuaciones (porque realmente son lo mismo, la misma longitud) para llegar a:
Es decir, el valor de r es 1/(2π), que son unos 16cm.
¿Qué significa este resultado? Simplemente que el radio “extra” que crece nuestra circunferencia no depende para nada del radio R de la esfera inicial, es decir, me da igual que esa R sea la de una canica o la distancia de punta a punta del universo, que si le añado un metro la separación será siempre de 16cm.
Extraño, ¿verdad?