Un juego estadístico

Quizás hayas oído hablar del problema de Monty Hall sobre probabilidad. En él se plantea un concurso en el que existen tres cajas, dos de las cuales contienen una cabra y la otra tiene el premio grande: un coche. Se deja que el concursante escoja una de las tres cajas sin saber su contenido, y una vez ha escogido la caja, el presentador muestra el contenido de una de las otras dos cajas restantes, que resulta ser una de las cabras. A continuación, el presentador da la opción al concursante de cambiar su caja por la otra que queda cerrada o quedarse con la que tiene… ¿qué debería hacer?

En cualquier caso, una cabra no parece tan mal regalo…

La respuesta es que debería cambiar de caja. Así sus probabilidades de ganar aumentan, aunque de entrada parezca poco intuitivo. Las probabilidades de ganar cuando escoge la primera caja son lógicamente 1/3. Si se quedara con esa caja tras conocer el contenido de la otra caja, la probabilidad se mantendría en 1/3, mientras que si cambia de caja aumentarían a 2/3…

La demostración matemática es sencilla pero requiere de algunos conocimientos de probabilidad, así que la omitiré y me centraré en una explicación más intuitiva.

Imaginemos que, en vez de 3 cajas, tenemos 100 cajas y sólo una de ellas contiene el coche. Como antes, el concursante escoge una al azar (Probabilidad=1/100). Ahora el presentador comienza a abrir cajas, una tras otra, y en ninguna de ellas está el coche. Llega a abrir hasta 98, de forma que tan sólo queda en el tablero la seleccionada por el concursante y otra más.

¿No resulta ahora evidente que lo más sensato es cambiar de caja? Antes de abrir las 98 cajas, la probabilidad de que el coche estuviera en la caja seleccionada eran de 1/100 y de que estuviese en el resto de las cajas de 99/100. Al abrir las cajas, si el concursante se quedara con la que escogió, ganaría únicamente si al principio tuvo la suerte de elegir bien, es decir, la probabilidad sigue manteniéndose en 1/100, mientras que la probabilidad restante (99/100) recae ahora sobre la otra caja… Es decir, ganaríamos 99 veces de cada 100 si cambiamos de caja.

Con el caso de 3 cajas pasa exactamente lo mismo, solo que no es tan fácil de ver. Puedes hacer el experimento varias veces y verás como la opción más sensata es siempre cambiar.

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